Найти указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя)

Limx→0sin5xsin4x
Подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенности вида 00. Чтобы освободиться от этой неопределенности, умножим один раз числитель и знаменатель дроби на 5x, и второй раз на 4x, выполним преобразования и воспользуемся первым замечательным пределом: limα→0sinαα=1 и его следствием:
limα→0αsinα=1.
limx→0sin5xsin4x=limx→05xsin5x5x∙4x4xsin4x=limx→0sin5x5x→1∙4xsin4x→1∙5x4x=1∙1∙limx→05x4x= 54
Ответ: limx→0sin5xsin4x