Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора

Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей: 13-24-210-24-213

Нужно полное решение этой работы?

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Составим характеристическое уравнение:
A-λE=0
13-λ-24-210-λ-24-213-λ=0
(13-λ)210-λ+16+16-1610-λ-413-λ-413-λ=0
169-26λ+λ210-λ+24λ-232=0
1690-260λ+10λ2-169λ+26λ2-λ3+24λ-232=0
-λ3+36λ2-405λ+1458=0
Корни уравнения будем искать среди делителей свободного члена:
λ=1 -1+36-405+1458=1088≠0
λ=2 -8+144-810+1458=784≠0
λ=3 -27+144-1215+1458=360≠0
λ=9 -729+2916-3645+1458=0
Разделим многочлен на λ-9
-λ3+36λ2-405λ+1458
-λ3+9λ2
λ-9
-λ2+27λ-162
27λ2-405λ+1458
27λ2-243λ
-162λ+1458
-162λ+1458
0
-λ3+36λ2-405λ+1458=λ-9-λ2+27λ-162
-λ2+27λ-162=0
D=729-648=81
λ2=-27+9-2=9 λ3=-27-9-2=18
λ1,2=9 λ3=18
Найдем собственные векторы, отвечающие собственным значениям как решение системы уравнений:
A-λEX=0
λ1,2=9
13-9-24-210-9-24-213-9X=0
4-24-21-24-24X=0
4-24-21-24-24~Разделим первую строку на 2Разделим третью строку на 2~2-12-21-22-12~
~Сложим первую и вторую строки Вычтем из первой третью строку~2-12000000~2-12
Ранг матрицы равен 1, значит, пространство решений состоит из двух векторов
x2=2x1+2x3
Пусть x1=α1, x3=0 => x2=2α1
f1=α1∙1;2;0
Пусть x1=0, x3=α2 => x2=2α2
f2=α2∙0;2;1
λ3=18
13-18-24-210-18-24-213-18X=0
-5-24-2-8-24-2-5X=0
-5-24-2-8-24-2-5~Разделим вторую строку на -2Поменяем местами вторую и первую строки
141-5-244-2-5~Умножим первую строку на 5 и сложим со второйУмножим первую строку на -4и сложим с третьей
14101890-18-9~Сложим вторую и третью строкиРазделим вторую строку на 18~1410112000
Ранг матрицы равен 2, значит, пространство решений состоит из одного вектора
x1+4x2+x3=0x3=-2x2 x1=-2x2x3=-2x2
Пусть x2=α3 => x1=-2α3, x3=-2α3
f3=α3∙-2;1;-2
Получили набор собственных векторов и собственных значений:
λ1,2=9 f1=α1∙1;2;0, f2=α2∙0;2;1
λ3=9 f3=α3∙-2;1;-2

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу