Найти собственные значения λ и собственные функции y задачи. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Найти собственные значения λ и собственные функции y задачи

Найти собственные значения λ и собственные функции y задачи .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти собственные значения λ и собственные функции y задачи: y''+λ2y=0, y0=0, y1=0

Ответ

λk=kπ1-0=kπ; yk=sinkπ(x-0)1-0=kπx

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Считаем, что 0≠1 и, без потери общности, 1>0,
Если λ=0, то уравнение имеет общее решение y=C1+C2x, и для заданных краевых условий y0=y1=0 при 0≠1 получаем тривиальное решение y=0.
Если λ=0, то характеристическое уравнение имеет число мнимые корни p1,2=± λi и общее решение уравнения имеет вид:
y=C1cos λx+C2sin λx
Подставляя полученное выражение в граничные условия, получим систему линейных однородных алгебраических уравнений относительно и C1 и C2
C1cosλ*0+C2sinλ*0=0C1cosλ*1+C2sinλ*1=0
Ненулевое решение существует тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю:
cosλ*0sinλ*0cosλ*1sinλ*1→cosλ*0*sinλ*1-sinλ*0*cosλ*1→
→sinλ*0-λ*1=0→sinλ1-0=0→λ1-0=kπ,
k∈N→λ=kπ1-0, k∈N
Подставляя λk=kπ1-0=kπ, k∈N в систему линейных однородных алгебраических уравнения относительно C1 и C2, находим
C1coskπ*01-0+C2sinkπ*01-0=0C1coskπ*11-0+C2sinkπ*11-0=0→C1=-C2tgkπ*01-0
Соответствующие собственные функции:
y=-C2tgkπ*01-0coskπx1-0=c*sinkπ(x-0)1-0
С точностью до множителя будут
yk=sinkπ(x-0)1-0=kπx, k∈N
Ответ: λk=kπ1-0=kπ; yk=sinkπ(x-0)1-0=kπx

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу