Найти решение задачи y''-6y'+8y=4e2x1+e-2x

Находим общее решение соответствующего однородного уравнения. Составим и решим характеристическое уравнение:
k2-6k+8=0;
k-2k-4=0;
k1,2=2;4 y=C1e2x+C2e4x;
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения будем искать в виде:
y=Z1xe2x+Z2xe4x;
Составим и решим систему:
Z1'xy1+Z2'xy2=0;Z1'xy1'+Z2'xy2'=f(x)a0(x);
y1=e2x; y2=e4x;
y1'=e2x'=2e2x; y2'=e4x'=4e4x;
fx=4e2x1+e-2x; a0x=1;
Запишем систему:
Z1'xe2x+Z2'xe4x=0;2Z1'xe2x+4Z2'xe4x=4e2x1+e-2x;
Решим систему по формулам Крамера:
∆=e2xe4x2e2x4e4x=e2x∙4e4x-e4x∙2e2x=4e6x-2e6x=2e6x;
∆1=0e4x4e2x1+e-2x4e4x=0∙4e4x-e4x∙4e2x1+e-2x=-4e6x1+e-2x;
Z1'x=∆1∆=-4e6x1+e-2x2e6x=-21+e-2x
Z1 x=-21+e-2xdx=-21+1e2xdx=-2e2xdxe2x+1=
=de2x+1=2e2xdx=-de2x+1e2x+1=-lne2x+1+C1;
∆2=e2x02e2x4e2x1+e-2x=e2x∙4e2x1+e-2x-0∙2e2x=4e4x1+e-2x;
Z2'x=∆2∆=4e4x1+e-2x2e6x=2e-2x1+e-2x;
Z2 x=2e-2x1+e-2xdx=d1+e-2x=-2e-2xdx=-d1+e-2x1+e-2x=
=-ln1+e-2x+C2;
Получили общее решение дифференциального уравнения:
y=-lne2x+1+C1e2x+-ln1+e-2x+C2e4x.
Найдем частное решение при условиях y0=0, y'0=0:
y'=-2e2xe2x+1e2x+2-lne2x+1+C1e2x+2e-2x1+e-2x∙e4x+
+4-ln1+e-2x+C2e4x=-2e4xe2x+1+2-lne2x+1+C1e2x+
+2e2x1+1e2x+4-ln1+e-2x+C2e4x=2-lne2x+1+C1e2x+
+4-ln1+e-2x+C2e4x;
Составим и решим систему уравнений:
y0=-lne0+1+C1e0+-ln1+e0+C2e0=0;y'0=2-lne0+1+C1e0+4-ln1+e0+C2e0=0;
C1+C2=0;2C1+4C2=0;
C1=0, C2=0