Найти решение задачи Коши y'-yx=3xe3x y1=e3

Сделаем замену:
y=uv
Тогда:
y'=u'v+uv'
Подставляем в исходное уравнение данные замены:
u'v+uv'-uvx=3xe3x
u'v+uv'-vx=3xe3x
Получаем систему уравнений:
v'-vx=0u'v=3xe3x
Решим первое уравнение системы:
v'-vx=0
v'=vx
dvv=dxx
lnv=lnx
v=x
Подставим полученное решение во второе уравнение системы и решим его:
u'x=3xe3x
u'=3e3x
du=3e3xdx
u=e3x+C
Тогда сделаем обратную замену и получим общее решение исходного дифференциального уравнения:
y=uv=xe3x+C=xe3x+Cx
Теперь найдём решение задачи Коши, воспользовавшись начальным условием:
y1=e3+C=e3
C=e3-e3=0
Тогда искомое решение задачи Коши выглядит так:
y=xe3x