Найти решение задачи Коши y'''-2y''+9y'-18y=0

Это линейное однородное дифференциальное уравнение 3-го порядка с постоянными коэффициентами.
Вычислим корни характеристического уравнения соответствующего однородному линейному уравнению:
λ3-2λ2+9λ-18=0
λ+2λ2+9=0
λ1=-2 и λ2=3i и λ3=-3i
Корнями характеристического уравнения являются числа два действительных числа и одно комплексное.
Тогда общее решение соответствующего линейного однородного уравнения имеет вид:
y=C1e-2x+C2cos3x+C3sin3x
Теперь найдем решение при следующих начальных условиях y0=-2,5; y'0=0; y''0=0.
Продифференцируем дважды общее решение исходного уравнения
y'=-2C1e-2x-3C2sin3x+3C3cos3x
y''=4C1e-2x-9C2cos3x-9C3sin3x
Подставив начальные условия, получаем систему
C1+C2=-2,5-2C1+3C3=04C1-9C2=0C1=-4526C2=-1013C3=-1513
В итоге получаем решение задачи Коши
y=-4526e-2x-1013cos3x-1513sin3x