Найти решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа

Для решения задачи применим метод Фурье разделения переменных. Тогда (см. задачу а)), решение задачи можно представить в виде ряда (9)
ur,φ=n=0∞ZnrΦnφ=D0A0+n=1∞DnrnAncosnφ+Bn sinnφ=
=C+n=1∞r2nAncosnφ+Bn sinnφ,
где введены обозначения D0A0=C, DnAn=An/2n, DnBn=Bn/2n.
Неизвестные коэффициенты An, Bn, C этого ряда найдем из граничных условий (2б) при r=2
ur=2=C+n=1∞Ancosnφ+Bn sinnφ=2sin3φ+cosφ=
=234sinφ-14sin3φ+cosφ=cosφ+32sinφ-12sin3φ.
В силу полноты системы тригонометрических функций 1, cosnφ, sinnφn=1∞ и сравнивая коэффициенты при одинаковых собственных функциях, получим
C=0,
A1=1, An=0, n=2,3,…
B1=32, B3=-12, Bn=0, при n≠1, n≠3.
Таким образом, решение исходной задачи будет
ur,φ=r2A1cosφ+r2B1sinφ+r23B3sin3φ
=r2cosφ+r2∙32sinφ+r23∙-12sin3φ=r2cosφ+3r4sinφ-r316sin3φ.
Ответ:
ur,φ=r2cosφ+3r4sinφ-r316sin3φ.