Найти решение уравнения xIV+4x'''+4x''=0

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение четвертого порядка. Составим и решим характеристическое уравнение:
k4+4k3+4k2=0
k2k2+4k+4=0
k2k+22=0
k1,2=0 k3,4=-2
Корни характеристического уравнения действительные кратные, поэтому общее решение запишем в виде:
x=C1+C2t+C3e-2t+C4te-2t
Найдем частное решение, для этого найдем первые три производные:
x'=C2-2C3e-2t+C4e-2t-2C4te-2t
x''=4C3e-2t-2C4e-2t-2C4e-2t+4C4te-2t=4C3e-2t-4C4e-2t+4C4te-2t
x'''=-8C3e-2t+8C4e-2t+4C4e-2t-8C4te-2t=-8C3e-2t+12C4e-2t-8C4te-2t
Выполним подстановку начальных условий и получим систему уравнений для определения неизвестных C1, C2, C3, C4
x0=x0 => C1+C3=x0
x'0=x1 => C2-2C3+C4=x1
x''0=x2 => 4C3-4C4=x2
x'''0=x3 => -8C3+12C4=x3
C1+C3=x0C2-2C3+C4=x14C3-4C4=x2-8C3+12C4=x3
Решим систему методом Гаусса:
1010x001-21x1004-4x200-812x3
Умножим третью строку на 2 и сложим со второй:
1010x001-21x1004-4x200042x2+x3
Разделим четвертую строку на 4
1010x001-21x1004-4x2000112x2+14x3
Умножим четвертую строку на 4 и сложим с третьей, умножим четвертую строку на (-1) и сложим со второй
1010x001-20x1-12x2-14x300403x2+x3000112x2+14x3
Разделим третью строку на 4
1010x001-20x1-12x2-14x3001034x2+14x3000112x2+14x3
Умножим третью строку на 2 и сложим со второй, умножим третью строку на (-1) и сложим с первой
1000x0-34x2-14x30100x1+x2+14x3001034x2+14x3000112x2+14x3
C1=x0-34x2-14x3C2=x1+x2+14x3C3=x2+34x2+14x3C4=12x2+14x3
Таким образом, частное решение:
x=x0-34x2-14x3+x1+x2+14x3t+x2+34x2+14x3e-2t+12x2+14x3te-2t