Найти решение уравнения x'''-6x''+11x'-6x=1

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение третьего порядка. Найдем общее решение однородного уравнения. Составим и решим характеристическое уравнение:
k3-6k2+11k-6=0
k1=1 – корень.
Разделим многочлен на k-1
k3-6k2+11k-6
k3-k2
k-1
k2-5k+6
-5k2+11k-6
-5k2+5k
6k-6
6k-6
0
k3-6k2+11k-6=k-1k2-5k+6
k2-5k+6=0
D=25-24=1 k2=5-12=2 k3=5+12=3
Корни характеристического уравнения действительные различные, поэтому общее решение однородного уравнения запишем в виде:
x0=C1et+C2e2t+C3e3t
Найдем частное решение неоднородного уравнения . Правая часть неоднородного уравнения является функцией специального вида с характеристическим числом k=0, не совпадающим с корнями характеристического уравнения, поэтому частное решение будем искать в виде:
x=A => x'=x''=x'''=0
Подставим данные значения в исходное уравнение и получим:
-6A=1 => A=-16
x=-16
Общее решение неоднородного уравнения:
x=x0+x=C1et+C2e2t+C3e3t-16
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям