Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда

Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда, а также исследовать его на сходимость на концах интервала: n=0∞x-2n4n+13n

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

В нашем случае радиус сходимости степенного ряда следующего вида:
n=0∞an*x-x0n
Можно вычислить по формуле:
R=limn→∞anan+1
Выпишем n-й член ряда:
an=14n+13n
Тогда (n+1)-й член ряда выглядит так:
an+1=14n+53n+1
Вычислим предел:
R=limn→∞14n+13n14n+53n+1=limn→∞4n+5*3n+14n+13n=3limn→∞4n+54n+1=3limn→∞4nn+5n4nn+1n=3*4+04+0=3*1=3
Интервал сходимости степенного ряда имеет вид:
x∈(x0-R;x0+R)
где R-это радиус сходимости степенного ряда,
x0-число (центр ряда)
По условию известно, что:
x0=2
Тогда интервал сходимости степенного ряда выглядит так:
x∈(2-3;2+3)
x∈(-1;5)
Теперь исследуем сходимость ряда в граничных точках данного интервала:
При x=-1 получаем ряд:
n=0∞-3n4n+13n=n=1∞-1n*3n4n+13n=n=1∞-1n4n+1
Данный ряд является знакочередующимся, исследуем на сходимость с помощью признака Лейбница:
1) Члены ряда должны убывать по модулю:
1>-15>19>…
Данное условие выполняется.
2) Общий член ряда должен стремиться к нулю:
limn→∞14n+1=limn→∞1n4n+1=0
Данное условие выполняется, поэтому x=-1 – точка сходимости ряда.
При x=5, получаем ряд:
n=0∞3n4n+13n=n=0∞14n+1
Исследуем сходимость данного ряда с помощью интегрального признака Коши, вычислим следующий несобственный интеграл:
0∞dx4x+1=limb→∞0bdx4x+1=limb→∞14ln4x+1|0b=limb→∞ln4b+14=∞
Данный несобственный интеграл расходится.
Значит, в точке x=5 – ряд расходится.
Тогда область сходимости степенного ряда выглядит так:
x∈-1;5

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу