Найти общее решение уравнения y''+2y'+5y=-8e-xsin2x

Общее решение будем искать в виде y=yо+y.
Найдем общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения. y''+2y'+5y=0
Составим и решим характеристическое уравнение
k2+2k+5=0
D=4-4∙5=-16=16i2=4i2
k1,2=-2±4i2=-1±2i
Решением однородного дифференциального уравнения буде:
yo=C1e-xcos2x+C2e-xsin2x
y будем искать в виде: y=xe-xAcos2x+Bsin2x
Найдем y', y'' и подставим в левую часть дифференциального уравнения
y'=xe-xAcos2x+Bsin2x'=
=e-x-xe-xAcos2x+Bsin2x+xe-x(-2Asin2x+2Bcos2x)=
=Ae-xcos2x+Be-xsin2x-xe-xAcos2x+xe-xBsin2x-2xe-xAsin2x+2xe-xBcos 2x=
y''=Ae-xcos2x+Be-xsin2x-xe-xAcos2x+xe-xBsin2x-2xe-xAsin2x+2xe-xBcos 2x'=
= -4Ae-xxcos2x+Acos2x-2e-x+e-xx-4Ae-x-e-xxsin2x+4Bcos2xe-x-e-xx-4Be-xxsin2x+B-2e-x+e-xxsin2x
4Be-xcos2x-4Ae-xsin2x=-8e-xsin2x
4B=0-4A=-8 ⇒B=0A=2
y=2xe-xcos2x
Общее решение
y=yо+y=C1e-xcos2x+C2e-xsin2x+2xe-xcos2x.