Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения

Найдем общее решение однородного уравнения:
y'''+2y'=0
Составим и решим характеристическое уравнение:
k3+2k=0
kk2+2=0
k1=0, k2,3=±2i
Среди корней характеристического уравнения есть действительные и комплексные сопряженные, поэтому общее решение однородного уравнения:
y0=C1+C2cos2x+C3sin2x
Найдем частное решение неоднородного уравнения. Правая часть неоднородного уравнения является суммой функций специального вида с характеристическими числами k=0 и k=±2i, совпадающими с корнями характеристического уравнения, поэтому частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде:
y=y1+y2
y1=xAx2+Bx+C=Ax3+Bx2+Cx
y1'=3Ax2+2Bx+C
y1''=6Ax+2B
y1'''=6A
6A+23Ax2+2Bx+C=x2-1
6Ax2+4Bx+6A+2C=x2-1
6A=14B=06A+2C=-1 A=16B=0C=-1
y1=16x3-x
y2=xAx+Bcos2x+Cx+Dsin2x=
=Ax2+Bxcos2x+Cx2+Dxsin2x
y2'=2Ax+Bcos2x-2Ax2+Bxsin2x+2Cx+Dsin2x+
+2Cx2+Dxcos2x=
=cos2x2Ax+B+2Cx2+2Dx+sin2x(-2Ax2-2Bx+2Cx+D)
y2''=-2sin2x2Ax+B+2Cx2+2Dx+cos2x2A+22Cx+2D+
+2cos2x-2Ax2-2Bx+2Cx+D+sin2x-22Ax-2B+2C=
=cos2x2A+22Cx+2D-2Ax2-2Bx+22Cx+2D+
+sin2x-22Ax-2B-2Cx2-2Dx-22Ax-2B+2C=
=cos2x2A-2Ax2-2Bx+22D+42Cx+
+sin2x-2Cx2-2Dx-42Ax-22B+2C
y2'''=-2sin2x2A-2Ax2-2Bx+22D+42Cx+
+cos2x-4Ax-2B+42C+
+2cos2x-2Cx2-2Dx-42Ax-22B+2C+
+sin2x-4Cx-2D-42A=
=sin2x-22A+22Ax2+22Bx-4D-8Cx-4Cx-2D-42A+
+cos2x-4Ax-2B+42C-22Cx2-22Dx-8Ax-4B+22C
Подставим данные значения в исходное уравнение:
sin2x-22A+22Ax2+22Bx-4D-8Cx-4Cx-2D-42A+
+cos2x-4Ax-2B+42C-22Cx2-22Dx-8Ax-4B+22C+
+2cos2x2Ax+B+2Cx2+2Dx+
+2sin2x(-2Ax2-2Bx+2Cx+D)=-xcos2x+3sin2x
sin2x-62A-4D-8Cx+cos2x-8Ax+62C-4B=
=-xcos2x+3sin2x
-62A-4D=3-8C=0-8A=-162C-4B=0 C=0B=0A=18D=-32+1216
y2=18x2cos2x-32+1216xsin2x
Общее решение уравнения:
y=y0+y1+y2=
=C1+C2cos2x+C3sin2x+16x3-x+18x2cos2x-32+1216xsin2x