Найти общее решение используя метод вариации произвольных постоянных

Составим характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения
y''+9y=0⟹k2+9=0⟹k1,2=±3i.
Итак, корни характеристического уравнения мнимые, следовательно, общее решение однородного уравнения:
yодн=C1cos3x+C2sin3x.
Полагаем C1=C1x, C2=C2(x) и общее решение исходного уравнения ищем в виде y=C1xcos3x+C2xsin3x . Производные функций C1x, C2(x) должны удовлетворять системе
C1'xcos3x+C2'xsin3x=0,-3C1'xsin3x+3C2'xcos3x=1sin3x⟹C2'x=-C1'xcos3xsin3x-3C1'xsin3x+3∙-C1'xcos3xsin3x∙cos3x=1sin3x.
-3C1'xsin23x-3C1'xcos23x=1
-3C1'x=1⟹C1'x=-13⟹C1x=-13dx=-x3+C1.
C2'x=-C1'xcos3xsin3x=--13∙cos3xsin3x=13∙cos3xsin3x⟹
C2x=13cos3xsin3xdx=19d(sin3x)sin3xdx=19lnsin3x+C2.
y(x)=C1xcos3x+C2xsin3x=-x3+C1cos3x+19lnsin3x+C2sin3x=-x3cos3x+19lnsin3x∙sin3x+C1cos3x+C2sin3x.
Ответ: yx=-x3cos3x+19lnsin3x∙sin3x+C1cos3x+C2sin3x.