Найти общее решение и решение задачи Коши для дифференциального уравнения второго порядка

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Найдем общее решение однородного уравнения:
y''-6y'+9y=0
Характеристическое уравнение:
k2-6k+9=0 (k-3)2=0 k1,2=3
Корни характеристического уравнения действительные кратные, поэтому общее решение однородного уравнения:
y0=C1e3x+C2xe3x
Найдем частное решение неоднородного уравнения . Правая часть является функцией специального вида с характеристическим числом k=0, не совпадающим с корнями характеристического уравнения, поэтому частное решение будем искать в виде:
y=Ax2+Bx+C
y'=2Ax+B
y''=2A
Подставим данные значения в исходное уравнение:
2A-62Ax+B+9(Ax2+Bx+C)=9x2-12x+2
9Ax2+x-12A+9B+2A-6B+9C=9x2-12x+2
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях переменной x в левой и правой частях:
9A=9-12A+9B=-122A-6B+9C=2 => A=1B=0C=0
y=x2
Общее решение уравнения запишем в виде:
y=y0+y=C1e3x+C2xe3x+x2
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:
y0=1 => C1=1
y'=3C1e3x+C2e3x+3C2xe3x+2x
y'0=3 => 3C1+C2=3
C1=13C1+C2=3 => C1=1C2=0
Частное решение уравнения:
y=e3x+x2