Найти общее решение и решение задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Его решение будем искать в виде:
y=uv => y'=u'v+uv'
Подставим данные значения в исходное уравнение:
u'v+uv'+2xuv=e-x2
u'v+uv'+2xv=e-x2 (*)
Выберем функцию v таким образом, чтобы выражение в скобках равнялось нулю:
v'+2xv=0
dvdx=-2xv dvv=-2xdx
Интегрируем обе части уравнения:
dvv=lnv -2xdx=-x2+C
Выберем частное решение при C=0
lnv=-x2+C => v=e-x2
Подставим данное значение в уравнение (*)
u'e-x2=e-x2 => u'=1 u=dx=x+C1
Общее решение уравнения:
y=uv=(x+C1)∙e-x2
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:
y0=-2 => -2=0+C1∙e0 => C1=-2
Частное решение уравнения:
y=(x-2)∙e-x2