Найти общее решение дифференциального уравнения. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Найти общее решение дифференциального уравнения

Найти общее решение дифференциального уравнения .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти общее решение дифференциального уравнения: y'-3y tg x=3y-2tg8x

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Домножим данное уравнение на y2, получим:
y2y'-3y3tg x=3tg8x
Сделаем замену:
z=y1-(-2)=y1+2=y3
Тогда:
z'=3y2y'
y2y'=13z'
Подставляем в исходное уравнение данные замены:
13z'-3z tg x=3 tg8x
Домножим на 3 данное уравнение:
z'-9z tg x=9 tg8x
Получили линейное неоднородное уравнение первого порядка, решим его с помощью следующей замены:
z=uv
Тогда:
z'=u'v+uv'
Подставляем:
u'v+uv'-9uv tg x=9tg8x
u'v+uv'-9v tg x=9 tg8x
Получаем систему уравнений:
v'-9v tg x=0u'v=9 tg8x
Решим первое уравнение системы:
v'-9v tg x=0
v'=9v tg x
dvv=9tg x dx
dvv=9sinx cosxdx
dvv=-9d(cosx)cosx
lnv=-9lncosx
lnv=ln1cos9x
v=1cos9x
Подставим полученное решение во второе уравнение системы:
u'cos9x=9tg8x
u'cos9x=9sin8xcos8x
u'=9*cosx*sin8x
du=9sin8xcosxdx
u=9*sin8x dsinx=9*sin9x9+C=sin9x+C
Делаем обратную замену:
z=uv=1cos9x*sin9x+C=tg9x+Ccos9x
Сделаем ещё одну обратную замену:
z=y3→y=3z
Тогда общее решение исходного дифференциального уравнения выглядит так:
y=3tg9x+Ccos9x

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу