Найти общее решение дифференциального уравнения

Заменим: y'=z, y''=z'. Получаем:
x2z'+xz=1;
это линейное дифференциальное уравнение первого порядка.
Заменим: z=uv, z'=u'v+uv'. Получаем:
x2u'v+x2uv'+xuv=1;
x2u'v+u(x2v'+xv)=1;
Запишем систему уравнений:
x2v'+xv=0,x2u'v=1.
Из первого уравнения системы найдем функцию v:
x2dvdx=-xv;
dvv=- dxx;
lnv=-lnx;
v=1x.
Подставляем найденную функцию во второе уравнение системы:
x2u'1x=1;
dudx=1x;
du=dxx;
u=lnx+C1;
Получили:
z=1xlnx+C1;
z=lnxx+C1x;
Проведем обратную замену z=y':
y'=lnxx+C1x;
dydx=lnxx+C1x-
это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
dy=lnxx+C1xdx;
lnxxdx=dlnx=dxx=lnxdlnx=ln2x2+C
y=ln2x2+C1lnx+C2-
общее решение дифференциального уравнения.