Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка решается заменой y=UV, y'=U'V+UV':
x(U'V+UV')+x+1UV=3x2e-x
xU'V+xUV'+x+1UV=3x2e-x
xU'V+U(xV'+x+1V)=3x2e-x
Решим систему уравнений:
xV'+x+1V=0xU'V=3x2e-x
Решим первое уравнение . Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
xdVdx=-V(x+1)
dVV=-x+1dxx
dVV=-1+1xdx
Интегрируем обе части уравнения:
dVV=-dx-dxx
lnV=-x-lnx
Используем свойство lnep=p:
lnV=lne-x-lnx
Используем свойство lna-lnb=lnab:
lnV=lne-xx
V=e-xx
Подставляем во второе уравнение:
xU'e-xx=3x2e-x
U'=3x2
dUdx=3x2
dU=3x2dx
Интегрируем:
dU=3x2dx
U=3x33+C=x3+C
Получаем общее решение дифференциального уравнения, возвращаясь к замене:
y=UV=1exx(x3+C)
Частное решение найдем, подставив начальные условия:
0=1e11(13+C)
0=1e(1+C)
1+C=0→C=-1
Частное решение:
yч=1exxx3-1=x2ex-1xex