Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными

Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: y-y'=y2+xy'

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Преобразуем уравнение:
y-y2=y'+xy'
y-y2=y'(1+x)
y-y2=dydx(1+x)
Разделим переменные:
dyy-y2=dx1+x
Интегрируем обе части уравнения:
dyy-y2=dx1+x
Решаем первый интеграл:
dyy-y2=dyy(1-y)
Разложим подынтегральное выражение на сумму простейших дробей:
1y(1-y)=Ay+B1-y=A-Ay+Byy(1-y)
Приравниваем числители:
1=A-Ay+By
1=A+yB-A
Составим систему уравнений и найдем коэффициенты:
при yпри 1B-A=0A=1→B=A=1A=1
Получили интеграл:
dyy1-y=1y+11-ydy =dyy-dyy-1=Во втором интегралевнесем под знак дифференциалаdy=dy-1
=dyy-dy-1y-1=Получены табличные интегралыduu=lnu+C=
=lny-lny-1+C
Решив второй интеграл:
dx1+x=Во втором интегралевнесем под знак дифференциалаdy=dy-1=d(1+x)1+x=Получен табличный интегралduu=lnu+C=
=ln1+x+C
В итоге общий интеграл дифференциального уравнения имеет вид:
lny-lny-1=ln1+x+C
Положим, что C=lnC
lny-lny-1=ln1+x+lnC
Используем свойства логарифма
lna-lnb=lnab,lna+lnb=lnab
Имеем:
lnyy-1=lnC(1+x)
Опустим знак логарифма:
yy-1=C(1+x)
y=(C+Cx)(y-1)
y=Cy-C+Cxy-Cx
y-Cy-Cxy=-C-Cx
y1-C-Cx=-C-Cx
y=-C-Cx1-C-Cx
y=-C(1+x)1-C(1+x)
Положим, что C=-C и получим общее решение дифференциального уравнения
y=C(1+x)1+C(1+x)

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу