Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение

Это дифференциальное уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка. Так как в уравнение явно не входит функция y, то выполним замену переменной:
z=y' => z'=y''
z'xlnx=z
Это уравнение с разделяющимися переменными:
dzdxxlnx=z dzz=dxxlnx
Интегрируем обе части уравнения:
dzz=lnz dxxlnx=dlnxlnx=lnlnx+lnC
lnz=lnlnx+lnC
z=Clnx
z=y' => y=Clnxdx=
Применим формулу интегрирования по частям:
u=lnx dv=dx
du=dxx v=x
=Cxlnx-dx=Cxlnx-Cx+C1
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:
ye=e-1 => e-1=Ce-Ce+C1 => C1=e-1
y'=Clnx+C-C=Clnx y'e=1 => 1=C
Частное решение:
y=xlnx-x+e-1