Найти область сходимости степенного ряда. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Найти область сходимости степенного ряда

Найти область сходимости степенного ряда .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти область сходимости степенного ряда: n=1∞-1nx-2nn2*(2n+3)

Ответ

x∈[1;3]

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Выпишем общий член ряда и составим (n+1)-й член, получим:
an=-1nn2*(2n+3)
Тогда:
an+1=-1n+1n+12*2n+5
Вычислим предел:
R=limn→∞anan+1=limn→∞-1nn2*(2n+3)-1n+1n+12*2n+5=-limn→∞n+122n+5n22n+3=-1
Радиус сходимости данного ряда равен -1, тогда интервал сходимости выглядит так:
Интервал сходимости степенного ряда имеет вид:
x∈(x0-R;x0+R)
где R-это радиус сходимости степенного ряда,
x0-число (центр ряда)
В данном случае x0=2, поэтому интервал сходимости выглядит следующим образом:
x∈1;3
Чтобы найти область сходимости ряда, исследуем ряд на сходимость в граничных точках найденного интервала сходимости:
1) При x=1 получаем ряд:
n=1∞-1n*1-2nn2*(2n+3)=n=1∞1n2*(2n+3)
Данный ряд сходится по признаку сравнения со сходящимся рядом следующего вида:
n=1∞1n3
Делаем вывод, что в точке x=1 – ряд сходится.
2) При x=3 получаем ряд:
n=1∞-1n*3-2nn2*(2n+3)=n=1∞-1nn2*(2n+3)
Данный ряд является знакочередующимся, исследуем его на сходимость с помощью признака Лейбница:
1) Члены ряда должны убывать по модулю:
-15>128>-181>…
Данное условие выполняется.
2) Общий член ряда должен стремиться к нулю:
limn→∞1n2*(2n+3)=0
Данное условие также выполняется.
Делаем вывод, что в точке x=3 – ряд сходится.
Значит, область сходимости исходного ряда выглядит так:
x∈[1;3]
Ответ: x∈[1;3]

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу