Найти область сходимости степенного ряда. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Найти область сходимости степенного ряда

Найти область сходимости степенного ряда .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти область сходимости степенного ряда. n=1∞nnxnn!;

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Для вычисления радиуса сходимости R степенного ряда воспользуемся формулой
R=limn→∞anan+1
Согласно формуле, находим
R=limn→∞anan+1=limn→∞nnn!÷n+1n+1n+1!=limn→∞nnn!n+1n!nn1+1nnn+1=1e.
Тогда интервал сходимости:
x0-R;x0+R=0-1e;0+1e=-1e;1e.
Исследуем на концах интервала:
x=-1e: n=1∞-1nnnn!en~формула Стирлинга: n!≈2πnnen~n=1∞-1n2πn
Знакочередующийся ряд, который сходится условно, т.к.
limn→∞an=limn→∞12πn=0⟹ряд сх-ся по признаку Лейбница.
n=1∞1nα=12<1-расходящийся ряд Дирихле, следовательно сходимость условная
(множитель 12π-на сходимость не влияет).
x=1e: n=1∞nnn!en~n=1∞12πn~n=1∞1n-расходящийся ряд Дирихле.
Следовательно, область сходимости -1e;1e.
Ответ:-1e;1e.

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу