Найти область сходимости степенного ряда. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Найти область сходимости степенного ряда

Найти область сходимости степенного ряда .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти область сходимости степенного ряда: n=1∞2n∙xn3n∙4n

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Интервал сходимости степенного ряда найдем с помощью признака Даламбера:
un=2n∙xn3n∙4n un+1=2n+1∙xn+13n+1∙4n+1=2∙2n∙x∙xn3∙3n∙4n+1
limn→∞ un+1un=limn→∞2∙2n∙x∙xn3∙3n∙4n+1∙3n∙4n2n∙xn=2x3∙limn→∞4n4n+1=2x3
Ряд сходится при
2x3<1 x<32 -32<x<32
Исследуем ряд на сходимость на концах интервала:
x=-32
n=1∞2n∙xn3n∙4n=n=1∞(-1)n4n
Общий член ряда по модулю стремится к нулю, при этом убывание монотонно, так как каждый следующий член ряда по модулю меньше предыдущего, как число, знаменатель которого больше
limn→∞14n=0
По признаку Лейбница ряд сходится
Исследуем на сходимость ряд, составленный из модулей исходного ряда.
n=1∞14n
Данный ряд является обобщенно гармоническим рядом с показателем степени k=1/4, а значит, является расходящимся.
Так как ряд, составленный из модулей исходного ряда, расходится, то исходный ряд сходится условно.
x=32
n=1∞2n∙xn3n∙4n=n=1∞14n
Данный ряд расходится по доказанному ряду

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу