Найти объем тела ограниченного поверхностями. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Найти объем тела ограниченного поверхностями

Найти объем тела ограниченного поверхностями .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти объем тела ограниченного поверхностями: S1: x2+y2=4; S2: x+y+z=3a; S3: z=0.

Ответ

V=12π∙a.

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Сверху тело ограничено плоскотью x+y+z=3a, снизу плоскостью - z=0, по бокам – цилиндром x2+y2=4.
Перейдем к цилиндрическим координатам:
x=ρcosφy=ρsinφz=zdV=ρdρdφdz
x2+y2=4=ρ2cos2φ+ρ2sin2φ=4⟹ρ2=4⟹ρ∈0;2.
Проекция тела на плоскость XOY:
φ∈0;2π;
z=3a-x-y=3a-ρcosφ-ρsinφ⟹z∈0;3a-ρcosφ-ρsinφ.
V=(V)dxdydz=02πdφ02ρdρ03a-ρcosφ-ρsinφdz=02πdφ02ρdρ∙z03a-ρcosφ-ρsinφ=02πdφ02ρdρ∙3a-ρcosφ-ρsinφ-0=02πdφ023aρ-ρ2cosφ-ρ2sinφdρ=02πdφ∙3a∙ρ22-ρ33cosφ-ρ33sinφ02=02π3a∙222-233cosφ-233sinφdφ=02π6a-83cosφ-83sinφdφ=6a∙φ-83sinφ+83cosφ02π=6a∙2π-83sin2π+83cos2π-6a∙0-83sin0+83cos0=12π∙a+83-83=12π∙a.
Ответ: V=12π∙a.

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу