Найти неопределенный интеграл пользуясь разложением рациональных дробей на сумму простейших

Разложим подынтегральное выражение на сумму простейших дробей:
3x-1x3+3x=3x-1x(x2+3)=Ax+Bx+Cx2+3=Ax2+3A+Bx2+Cxx(x2+3)
Приравняем числители:
3x-1=Ax2+3A+Bx2+Cx
Найдем коэффициенты, решив систему:
при x2при xпри 1A+B=0C=33A=-1→B=-A=13C=3A=-13
Получили разложение:
3x-1x3+3x=-13x+13x+3x2+3=-13x+x+93(x2+3)
Получили интеграл:
3x-1x3+3x=-13dxx+13x+9x2+3dx
Решим первый интеграл:
-13dxx=-13lnx+C
Решим второй интеграл:
13x+9x2+3dx=13xdxx2+3+3dxx2+3
Решаем интегралы:
1.
13xdxx2+3=Заменаt=x2+3dt=x2+3'dx=2xdx=16dtt=16lnt+C=
=16lnx2+3+C
2.
3dxx2+3=3dxx2+32=33 arctgx3+C=3 arctgx3+C
В итоге:
3x-1x3+3x=-13lnx+16lnx2+3+3 arctgx3+C