Найти неопределенный интеграл пользуясь разложением рациональных дробей на сумму простейших

Разложим подынтегральное выражение на сумму простейших дробей:
x+20x3-8x=x+20x(x2-8)=Ax+Bx+Cx2-8=Ax2-8A+Bx2+Cxx(x2-8)
Приравняем числители:
x+20=Ax2-8A+Bx2+Cx
Найдем коэффициенты, решив систему:
при x2при xпри 1A+B=0C=1-8A=20→B=-A=52C=1A=-208=-52
Получили разложение:
x+20x3-8x=-52x+5x2+1x2-8=-52x+5x+22(x2-8)
Получили интеграл:
x+20x3-8x=-52dxx+125x+2x2-8dx
Решим первый интеграл:
-52dxx=-52lnx+C
Решим второй интеграл:
125x+2x2-8dx=52xdxx2-8+dxx2-8
Решаем интегралы:
1.
52xdxx2-8=Заменаt=x2-8dt=x2-8'dx=2xdx=54dtt=54lnt+C=
=54lnx2-8+C
2.
dxx2-8=dxx2-82=128lnx-8x+8+C=142lnx-8x+8+C
В итоге:
x+20x3-8x=-52lnx+54lnx2-8+142lnx-8x+8+C