Найти неопределенные интегралы. Результат проверить дифференцированием

Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов, для этого разложим подынтегральную дробь на сумму простейших дробей:
x+4x(x2+1)=Ax+Bx2+1+Cx
Ax+B*x+Cx2+1=x+4
Ax2+Bx+Cx2+C=x+4
Приравнивая коэффициенты между соответствующими степенями, получаем систему уравнений:
A+C=0B=1C=4→A=-4B=1C=4
Тогда подынтегральная дробь перепишется так:
x+4x(x2+1)=Ax+Bx2+1+Cx=1-4xx2+1+4x
Перепишем подынтегральное выражение, получим:
x+4x(x2+1)dx=1-4xx2+1+4xdx=dxx2+1-4xx2+1dx+4dxx=dxx2+12-2dx2+1x2+1+4dxx=arctg x-2lnx2+1+4lnx+C
Теперь сделаем проверку, для этого продифференцируем полученный результат:
arctg x-2lnx2+1+4lnx+C'=1x2+1-2x2+1*2x+4x=1x2+1-4xx2+1+4x=x-4x2+4x2+4x*x2+1=x+4x(x2+1)
Так как получена исходная подынтегральная функция, делаем вывод, что интеграл найден правильно.