Найти наибольшее и наименьшее значения функции

Построим область:
Найдем критические точки из системы уравнений:
∂z∂x=0∂z∂y=0
∂z∂x=(-x2-3xy-2y2+5x-7y+2)x'=-2x-3y+5
∂z∂y=(-x2-3xy-2y2+5x-7y+2)y'=-3x-4y-7
-2x-3y+5=0-3x-4y-7=0
2x+3y=53x+4y=-7
Решим систему по формулам Крамера:
∆=2334=8-9=-1
∆1=53-74=20+21=41 x=-41
∆2=253-7=-14-15=-29 y=29
Получили критическую точку, не принадлежащую области:
M-41;29
Угловые точки области:
M10;0,M28;0,M38;4,M40;4
Исследуем границу области:
x=0 y∈0;4
fx,y=-2y2-7y+2 ∂f∂y=-4y-7 -4y-7=0 y=-74
Точка не принадлежит области
x=8 y∈0;4
fx,y=-2y2-31y-22 ∂f∂y=-4y-31 -4y-31=0 y=-314
Точка не принадлежит области
y=0 x∈0;8
fx,y=-x2+5x+2 ∂f∂x=-2x+5 -2x+5=0 x=52
M552;0
y=4 x∈0;8
fx,y=-x2-7x-58 ∂f∂x=-2x-7 -2x-7=0 x=-72
Точка не принадлежит области
Вычислим значения функции в получившихся точках, среди них выберем минимальное и максимальное значения:
fM1=0; fM2=-22; fM3=-178; fM4=-58; fM5=334
Таким образом:
fmin=f8;4=-178, fmax=f52;0=334