Найти минимальное и максимальное значения функции z=-x2-6y2 в области x-72+y2≤4

Сначала построим чертёж. Уравнение x-72+y2=4 (это граничная линия заданной области) определяется окружностью с радиусом 2 и с центром в точке 7;0. Неравенству x-72+y2≤4 удовлетворяют все точки внутри и на упомянутой окружности.
Найдем частные производные и выясним критические точки.
∂z∂x=-x2-6y2x'=-2x; ∂z∂y=-x2-6y2y'=-12y.
Точек, в которых найденные частные производные не существуют, нет. Выясним, в каких точках обе частные производные одновременно равны нулю, т.е . найдём стационарные точки.
-2x=0-12y=0 x=0y=0
Получаем стационарную точку 0;0. Однако найденная точка не принадлежит области D.
Итак, внутри области D нет критических точек.
Составляем функцию Лагранжа:
Lx,y,λ=-x2-6y2+λx-72+y2-4
Находим частные производные функции Лагранжа и составляем соответствующую систему уравнений:
Lx'=-x2-6y2+λx-72+y2-4x'=-2x+2λx-7=2∙-x+λx-7
Ly'=-x2-6y2+λx-72+y2-4y'=-12y+2λy=-2y∙6-λ
Lλ'=-x2-6y2+λx-72+y2-4λ'=x-72+y2-4
2∙-x+λx-7=0-2y∙6-λ=0x-72+y2-4=0 x-λx+7=0y∙6-λ=0x-72+y2-4=0x-λx=-76y-λy=0x-72+y2=4
Рассмотрим второе уравнение:
y∙6-λ=0
y=0 или 6-λ=0
y=0 или λ=6
Пусть y=0, то
x-72+02-4=0
x-72=4
x-7=2 или x-7=-2
x1=9 или x2=5
Вычислим λ для x1 и x2:
λ1=x1+7x1=9+79=169=179
λ2=x2+7x2=5+75=125=225
Теперь рассмотрим случай λ=6