Найти минимальное и максимальное значения функции z=-8x2-9xy+4y2 в области x+y≤1

Сделаем схематический чертеж области D: x+y≤1.
Вычислим значения функции в стационарных точках, принадлежащих данной области:
zx'=-8x2-9xy+4y2x'=-16x-9y
zy'=-8x2-9xy+4y2y'=-9x+8y
zx'=0zy'=0-16x-9y=0-9x+8y=0x=0y=0
Точка 0;0, z0;0=-8∙02-9∙0∙0+4∙02=0
Исследуем значения функции на границах области D:
1) Подставим x=1-y в функцию:
z=-8∙1-y2-9y∙1-y+4y2=5y2+7y-8
z'=5y2+7y-8'=10y+7
10y+7=0; y=-0,7
y=-0,7∉0;1
2) Подставим x=y+1 в функцию:
z=-8∙y+12-9y∙y+1+4y2=-13y2-25y-8
z'=-13y2-25y-8'=-26y-25
-26y-25=0; y=-2526≈-0,96
y=-0,96∈-1;0 x=y+1=-0,96+1=0,04
Вычислим значение функции в точке M10,04; -0,96:
zM1=-8∙0,042-9∙-0,96∙0,04+4∙-0,962≈4,0192
Вычислим значения функции на концах отрезка M20;-1 и M31;0:
zM2=-8∙02-9∙-1∙0+4∙-12=4
zM3=-8∙12-9∙0∙1+4∙02=-8
3) Подставим x=-y-1 в функцию:
z=-8∙-y-12-9y∙-y-1+4y2=5y2-7y-8
z'=5y2-7y-8'=10y-7
10y-7=0; y=0,7
y=0,7∉-1;0
4) Подставим x=y-1 в функцию:
z=-8∙y-12-9y∙y-1+4y2=-13y2+25y-8
z'=-13y2+25y-8'=-26y+25
-26y+25=0; y=2526≈0,96
y=0,96∈0;1 x=y-1=0,96-1=-0,04
Вычислим значение функции в точке M4-0,04; 0,96:
zM4=-8∙-0,042-9∙0,96∙-0,04+4∙0,962≈4,0192
Вычислим значения функции на концах отрезка M5-1;0 и M60;1:
zM5=-8∙-12-9∙0∙-1+4∙02=-8
zM6=-8∙02-9∙1∙0+4∙12=4
В итоге получаем:
Zmin=-8 при M31;0 и M5-1;0
Zmax=4,0192 при M10,04; -0,96 и M4-0,04; 0,96