Найти минимальное и максимальное значения функции z=-5x+9y+8 в области 2x2+9y2≤1

Сначала построим чертёж. Уравнение 2x2+9y2=1 (это граничная линия заданной области) определяет овал с центром в начале координат. Неравенству 2x2+9y2≤1 удовлетворяют все точки внутри и на упомянутой окружности.
Найдем частные производные и выясним критические точки.
∂z∂x=-5x+9y+8x'=-5; ∂z∂y=-5x+9y+8y'=9.
Точек, в которых найденные частные производные не существуют, нет.
А также точек, в которых частные производные одновременно равны нулю, нет.
Итак, внутри области D нет критических точек.
Составляем функцию Лагранжа:
Lx,y,λ=-5x+9y+8+λ2x2+9y2-1
Находим частные производные функции Лагранжа и составляем соответствующую систему уравнений:
Lx'=-5x+9y+8+λ2x2+9y2-1x'=-5+4λx
Ly'=-5x+9y+8+λ2x2+9y2-1y'=9+18λy
Lλ'=-5x+9y+8+λ2x2+9y2-1λ'=2x2+9y2-1
-5+4λx=09+18λy=02x2+9y2-1=0 4λx=518λy=-92x2+9y2=1x=54λy=-12λ2x2+9y2=1
2∙54λ2+9∙-12λ2=1
2∙2516λ2+9∙14λ2=1
258λ2+94λ2=1
258λ2+188λ2=1
438λ2=1
8λ2=43
λ2=438 λ1=-864λ2=+864
Вычислим x1 и y1 для λ1=-864:
x1=54∙-864=-586=-58686
y1=-12∙-864=286=28686=14386
Вычислим x2 и y2 для λ2=864:
x2=54∙864=586=58686
y2=-12∙864=-286=-28686=-14386
Итак, получаем две точки возможного условного экстремума: M1-58686;14386 и M258686;-14386
Найдём значения функции в точках M1 и M2:
z1=zM1=-5∙-58686+9∙14386+8=862+8≈12,63
z2=zM2=-5∙58686+9∙-14386+8=-862+8≈3,36
В итоге получаем:
Zmin=-862+8≈3,36; Zmax=862+8≈12,63