Найти массу тела ограниченного данными поверхностями. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Найти массу тела ограниченного данными поверхностями

Найти массу тела ограниченного данными поверхностями .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти массу тела, ограниченного данными поверхностями, если задана плотность μ=μx;y;z. x2+y2+z2=4; x2+y2=1;x=0;z=0 x≥0;z≥0; μ=4z.

Ответ

M=72π.

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Сверху тело ограничено сферой x2+y2+z2=4, сбоку цилиндром x2+y2=1 и плоскостью x=0, снизу плоскостью z=0.
Проекция тела на плоскость XOY:
Используем цилиндрические координаты
x=ρcosφy=ρsinφz=z.
Запишем уравнения границ в цилиндрических координатах:
x2+y2+z2=4⟹ρ2+z2=4⟹z=4-ρ2,
x2+y2=1⟹ρ2=1⟹ρ=1.
Угол φ изменяется в пределах –π2≤φ≤π2.
Элемент объема dxdydz=ρdρdφdz.
Функция плотности μ=4z.
Масса тела:
M=(V)μρ,θ,φdv=(V)4z∙ρdρdφdz=4–π2π2dφ01ρdρ04-ρ2zdz=4–π2π2dφ01ρdρ∙z2204-ρ2=4–π2π2dφ01ρdρ4-ρ222-022=2–π2π2dφ01ρ4-ρ2dρ=2–π2π2dφ014ρ-ρ3dρ=2–π2π2dφ∙4ρ22-ρ4401=2–π2π2dφ∙4∙122-144-0=72–π2π2dφ=72∙φ–π2π2=72∙π2-–π2=72π.
Ответ: M=72π.

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу