Найти максимум и минимум целевой функции fx,y в области D, заданной условиями D=-3≤x≤3; -3≤y≤3. Нарисовать область D, линии уровня целевой функции в экстремальных точках – направление вектора градиента целевой функции.
Функция
fx,y=73x2-183xy+3203x+91y2-3003y+320y+2500
Ответ
maxDf=fM23;-3≈6518,2067
minDf=fM4-3;3≈1994,9777
Решение
Изобразим область D на чертеже:
Вычислим значения функции в стационарных точках, принадлежащих данной области:
fx'=73x2-183xy+3203x+91y2-3003y+320y+2500x'=146x-183y+3203
fy'=-183x+182y-3003+320
fx'=0fy'=0 146x-183y+3203=0-183x+182y-3003+320=0
73x-93y=-1603-93x+91y=1503-160x=81128-523y=-52+2191283x≈-3,6973y≈0,4634
Получили точку M0-3,6973;0,4634∉D
Исследуем границу области
1) Если y=3, то
fx,3=73x2-183x∙3+3203x+91∙32-3003∙3+320∙3+2500=
=73x2-543x+3203x+819-9003+960+2500=73x2+2663x-9003+4279
f'x,3=146x+2663
146x+2663=0
146x=-2663
x=-2663146
x≈-3,1557∉-3;3
Вычислим значение функции на концах отрезка, то есть в точках M13;3 и M4-3;3:
fx,y=73x2-183xy+3203x+91y2-3003y+320y+2500
fM1=73∙32-183∙3∙3+3203∙3+91∙32-3003∙3+320∙3+2500=
=657-1623+9603+819-9003+960+2500=4936-1023≈4759,3308
fM4=73∙-32-183∙-3∙3+3203∙-3+91∙32-3003∙3+320∙3+2500=
=657+1623-9603+819-9003+960+2500≈1994,9777
2) Если y=-3, то
fx;-3=73x2-183x∙-3+3203x+91∙-32-3003∙-3+320∙-3+2500=
=73x2+543x+3203x+819+9003-960+2500=
=73x2+3743x+9003+2359
f'x;-3=146x+3743
146x+3743=0
146x=-3743
x=-3743146
x≈-4,4369∉-3;3
Вычислим значение функции на концах отрезка, то есть в точках M23;-3 и M3-3;-3:
fx,y=73x2-183xy+3203x+91y2-3003y+320y+2500
fM2=73∙32-183∙3∙-3+3203∙3+91∙-32-3003∙-3+
+320∙-3+2500≈6518,2067
fM3=73∙-32-183∙-3∙-3+3203∙-3+91∙-32-
-3003∙-3+320∙-3+2500≈2631,4847
3) Если x=3, то
f3;y=73∙32-183∙3∙y+3203∙3+91y2-3003y+320y+2500=
=657-543y+9603+91y2-3003y+320y+2500=
=91y2-3543y+320y+9603+3157
f'3;y=182y-3543+320
182y-3543+320=0
182y=3543-320
y=3543-320182
y≈1,6107∈-3≤y≤3
Вычислим значение функции в точке M53;1,6107:
fx,y=73x2-183xy+3203x+91y2-3003y+320y+2500
fM5=73∙32-183∙3∙1,6107+3203∙3+91∙1,61072-3003∙1,6107+
+320∙1,6107+2500≈4583,6848
Концы отрезка M1 и M2 уже исследованы.
4) Если x=-3, то
f-3;y=73∙-32-183∙-3∙y+3203∙-3+91y2-3003y+320y+2500=
=657+543y-9603+91y2-3003y+320y+2500=
=91y2-2463y+320y-9603+3157
f'3;y=182y+2463+320
182y+2463+320=0
182y=-2463-320
y=-2463-320182
y≈-4,0994∉-3≤y≤3
Концы отрезка M1 и M2 уже исследованы.
fM1≈4759,3308; fM2≈6518,2067; fM3≈2631,4847
fM4≈1994,9777; fM5≈4583,6848
Найти максимум и минимум целевой функции fx,y в области D:
maxDf=maxDfM1;fM2;fM3;fM4;fM5=fM2≈6518,2067
minDf=maxDfM1;fM2;fM3;fM4;fM5=fM4≈1994,9777
Ответ:
maxDf=fM23;-3≈6518,2067
minDf=fM4-3;3≈1994,9777
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
