Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений системы: 2x1-x2+3x3-x4-x5=0x1+5x2-x3+x4+2x5=0x1+16x2-6x3+4x4+7x5=0.
Ответ
Размерность пространства решений равна числу свободных неизвестных, (т.е. 3), а базисом в этом пространстве могут служить три найденных частных решения:
x1; x2; x3.
Решение
2x1-x2+3x3-x4-x5=0x1+5x2-x3+x4+2x5=0x1+16x2-6x3+4x4+7x5=0.
Выпишем матрицу системы, нумеруя столбцы:
2-1315-1116-6 -1-11247123 45
и приведем ее к каноническому виду, применяя элементарные преобразования: умножение строки на число, перестановку строк, сложение строк, те же операции со столбцами.
[- 2], [ - 1 ]
1) Расположим в левом верхнем углу элемент, равный 1. Для этого поменяем местами строки (1) и (2):
15-12-13116-6 12-1-147123 45
В дальнейшем 1-я строка не подлежит изменению!
2) Сформируем нули во 2-й и 3-й строках первого столбца. Для этого умножим 1-ю строку на 1-й элемент 2-й строки и вычтем из 2-й строки. Так же поступим с 3-й строкой. (Множители указаны в [ ] .)
15-10-115011-5 12-3-535123 45
В дальнейшем 1-й столбец не подлежит изменению!
3) Превратим в «1» 2-й элемент на главной диагонали, то есть стоящий во 2-й строке и 2-ом столбце
. В нашем примере достаточно разделить на (-11) вторую строку.
15-101-511011-5 1231151135123 45
В дальнейшем 2-я строка не подлежит изменению!
4) Превратим в «0» 3-й элемент 2-го столбца. Для этого умножим 2-ю строку на (-11) и сложим с 3-ей.
[15]-1[01]-511000 1231151100123 45
Под главной диагональю стоят нули, а на самой главной диагонали их нет. Этот вид и является каноническим. Минор, содержащий ненулевые элементы главной диагонали, является базисным, (здесь он указан скобками [ ] ), а исходные номера входящих в него столбцов: (1) (2) -- определяют номера базисных неизвестных; остальные неизвестные – свободные, и члены уравнений, содержащие их, переносят в правую часть
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
