Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений системы 2x1-x2+2x3-x4+x5=0x1+10x2-3x3-2x4-x5=04x1+19x2-4x3-5x4-x5=0

Записываем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приводим ее к редуцированному виду (в максимальном числе столбцов окажется по одной единице (в разных строках у разных столбцов), остальные элементы столбцов – нули). Матрица системы:
A=2-12-11110-3-2-1419-4-5-1
сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на -1/2,-2 соответственно:
2-12-110212-4-32-32021-8-3-3
сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на -2:
2-12-1 10212-4-32-32000 0 0
сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на 2/21:
202421-87 670212-4-32-32000 0 0
Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):
101721-47 3701-821-17-1700 0 0 0
Первый и второй столбец – базисный . Так как количество базисных столбцов равно двум, ранг матрицы A тоже равен двум, а размерность пространства решений равна 5-2=3, то есть фундаментальная система решений состоит из трех линейно независимых решений.
Неизвестные x1и x2 объявляем базисным, неизвестные x3 , х4и x5 - свободными