Найти интегралы от рациональных дробей 2x2-7x-3x2-6x+5dx

В данном случае подынтегральная функция представляет собой неправильную дробь, поэтому, чтобы выделить целую часть, поделим в столбик числитель на знаменатель (Рисунок 1):
Рисунок 1-Деление в столбик многочленов.
Тогда подынтегральная функция перепишется так:
2x2-7x-3x2-6x+5=2+5x-13x2-6x+5
Разложим полученную дробь на сумму простейших дробей, для этого сначала разложим на множители знаменатель дроби:
x2-6x+5=0
D=36-4*1*5=36-20=16
x1=6-42=22=1
x2=6+42=102=5
Тогда:
x2-6x+5=(x-1)(x-5)
Получаем, что:
5x-13x2-6x+5=5x-13(x-1)(x-5)=Ax-1+Bx-5
Ax-5+Bx-1=5x-13
Ax-5A+Bx-B=5x-13
Приравнивая коэффициенты между соответствующими степенями, получаем систему уравнений:
A+B=5-5A-B=-13→A=5-B-25+5B-B=-13→A=5-B4B=12→A=5-3=2B=3
Тогда дробь распишется так:
5x-13x2-6x+5=5x-13(x-1)(x-5)=Ax-1+Bx-5=2x-1+3x-5
Теперь перепишем подынтегральную функцию и найдём полученный интеграл:
2x2-7x-3x2-6x+5dx=2+5x-13x2-6x+5dx=2dx+5x-13x2-6x+5dx=2dx+2x-1+3x-5dx=2dx+2dxx-1+3dxx-5=2x+2lnx-1+3lnx-5+C