Найти голоморфную на всей комплексной плоскости C функцию fz=ux. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Найти голоморфную на всей комплексной плоскости C функцию fz=ux

Найти голоморфную на всей комплексной плоскости C функцию fz=ux .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти голоморфную на всей комплексной плоскости C функцию fz=ux,y+iv(x,y), если: ux,y=-2xy, f0=0

Ответ

fz=i∙z2

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Всякая голоморфная функция является аналитической, поэтому для нее выполнены условия Коши-Римана:
∂u∂x=∂v∂y; ∂u∂y=-∂v∂x
∂u∂x=-2y ∂u∂y=-2x
∂u∂x=∂v∂y=-2y => v=-2ydy=-y2+φx
Дифференцируем последнее равенство по переменной x
∂v∂x=φ'x=-∂u∂y => φ'x=2x => φx=2xdx=x2+C
Получаем:
v=x2-y2+C
fz=ux,y+i∙vx,y=-2xy+ix2-iy2+iC=i∙x2+2xiy+i2y2+iC=
=i∙(x+iy)2+iC=i∙z2+iC
Учитывая, что f0=0, получаем:
i∙02+iC=0 => C=0
fz=i∙z2
Ответ: fz=i∙z2

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу