Найти экстремумы функции z=x2+3y2-4xy если -3x+2y-7=0

Выразим из уравнения связи переменную x и подставим в функцию z
3x=2y-7 x=23y-73
Найдем экстремум функции z как функции одной переменной:
z=23y-732+3y2-423y-73y=49y2-289y+499+3y2-83y2+283y=
=79y2+569y+499
Найдем точки, в которых первая производная равна нулю:
zy'=79y2+569y+499y'=149y+569 149y+569=0 => y=-4 x=-5
Получили стационарную точку: M-5;-4
Найдем значение второй производной в данной точке:
zyy''=149y+569y'=149>0
Значит, в точке M имеется условный минимум.
zmin=zM=25+48-80=-7