Найти экстремумы функции fx y fx y=x2-2y2+4xy-6x-1 при условии y+x=3. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Найти экстремумы функции fx y fx y=x2-2y2+4xy-6x-1 при условии y+x=3

Найти экстремумы функции fx y fx y=x2-2y2+4xy-6x-1 при условии y+x=3 .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти экстремумы функции fx,y: fx,y=x2-2y2+4xy-6x-1 при условии y+x=3

Ответ

M01.8; 1.2 точка максимума; fmax =-2.8.

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Первый способ.
Составим функцию Лагранжа:
Lx,y=x2-2y2+4xy-6x-1+λy+x-3
Составляем систему уравнений из равенств частных производных нулю и уравнения условия связи:
∂L∂x=2x+4y-6+λ=0∂f∂y=-4y+4x+λ=0φx,y=y+x-3=0⟹ 6x-6=-2λ-12y+12=λ1-λ12-λ3+1=3⟹λ=-2.4x=1.8y=1.2⟹
Получили одну стационарную точку: M01.8; 1.2.
Найдём частные производные второго порядка функции Лагранжа:
∂2L∂x2=2x+4y-6+λx' =2;
∂2L∂y2=-4y+4x+λy' =-4;
∂2f∂x∂y=2x+4y-6+λy' =4.
Составим определитель из частных производных 2-го порядка для функции:
0φx'φy'φx'Lxx''Lxy''φy'Lxy''Lyy''=01112414-2=-141-2+1214=2+4+4-2=8>0
Следовательно, в точке M01.4; 1.2- максимум.
fmax =1.82-2∙1.22+4∙1.8∙1.2-6∙1.8-1=-2.8
Второй способ.
Подставим: y=3-x в функцию:
fx=x2-23-x2+4x3-x-6x-1=x2-18+12x-2x2+12x-4x2-6x-1=
=-5x2+18x-19
Производная:
f'x=-10x+18=0⟹x=1.8⟹M01.8; 1.2
f''x=-10<0⟹M01.8; 1.2 точка максимума.
Ответ: M01.8; 1.2 точка максимума; fmax =-2.8.

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу