Найти экстремали функционалов зависящих от производных высших порядков

Имеем:
Lx,y,y',y''=y2+2y'2+y''2
∂L∂y=2y
∂L∂y'=4y'
∂L∂y''=2y''
Тогда:
ddx∂L∂y'=4y''
d2dx2∂F∂y''=2yIV
Записываем уравнение Эйлера-Пуассона:
∂L∂y-ddx∂L∂y'+d2dx2∂L∂y''=0
Имеем:
2y-4y''+2yIV=0
Или:
yIV-2y''+y=0
Записываем и решаем соответствующее характеристическое уравнение:
k4-2k2+1=0
k2-12=0
k-12k+12=0
k1,2=1,k3,4=-1
Таким образом, семейство допустимых экстремалей:
y=c1+c2xex+c3+c4xe-x
Находим производную:
y'=c1+c2+c2xex-c3-c4+c4xe-x
И используем краевые условия y0=0,y1=0,y'0=1,y'1=-sh1:
0=c1+c30=c1+c2e1+c3+c4e-11=c1+c2-c3+c4-e1-e-12=c1+2c2e1-c3e-1 c1=12c2=-12c3=-12c4=12
И допустимая экстремаль:
y=1-xex2+x-1e-x2=1-xshx