Найти экстремали функционалов зависящих от нескольких функций

Имеем:
L=2z'y'x+y'2-z'2
∂L∂y=0;∂L∂y'=2z'x+2y'
∂L∂z=0;∂L∂z'=2y'x-2z'
Тогда:
ddx∂L∂y'=2z''x+2z'+2y''
ddx∂L∂z'=2y''x+2y'-2z''
Записываем систему уравнений Эйлера.
∂L∂y-ddx∂L∂y'=0∂L∂z-ddx∂L∂z'=0
Получаем:
-2z''x+2z'+2y''=0-2y''x+2y'-2z''=0
Или:
y''+z''x+z'=0y''x-z''+y'=0
Сложим первое уравнение со вторым, умноженным на x:
1+x2y''+y'x+z'=0
Откуда:
-z'=1+x2y''+y'x
Дифференцируем:
-z''=2xy''+1+x2y'''+y''x+y'
Подставляем во второе уравнение:
y''x+2xy''+1+x2y'''+y''x+y'+y'=0
1+x2y'''+4xy''+2y'=0
Перепишем для удобства уравнение в виде (понижая y'=t):
1+x2t''+4xt'+2t=0
И попробуем найти частное решение вида t=1+x2a .
Тогда:
t'=2ax1+x2a-1
t''=2a1+x2a-1+4aa-1x21+x2a-2
Подставляя в уравнение:
1+x22a1+x2a-1+4aa-1x21+x2a-2+4x∙2ax1+x2a-1+21+x2a=0
2(a+1)1+x2a+(4aa-1+8a)x21+x2a-1=0
Видим, что при a=-1 имеем тождество 0=0.
Т.е. имеем частное решение:
t=11+x2
Тогда с помощью замены t=ux1+x2 понижаем порядок уравнения:
t'=u'1+x2-2xu1+x22
t''=u''1+x2-4xu'1+x22+3x2-11+x23
Подставляя в уравнение:
1+x2u''1+x2-4xu'1+x22+3x2-11+x23+4xu'1+x2-2xu1+x22+2u1+x2=0
Раскрывая скобки и приводя подобные:
u''=0
Тогда:
u=c0x+c2
t=u1+x2=c0x+c21+x2
y'=c1x+c21+x2
Откуда:
y=c12ln1+x2+c2arctgx+c3
Возвращаясь к z:
-z'=1+x2y''+y'x
С учетом:
y'=c1x+c21+x2
y''=c11+x2-2c1x21+x22-2c2x1+x22
Получаем:
-z'=1+x2c11+x2-2c1x21+x22-2c2x1+x22+xc1x+c21+x2
z'=c2x-c11+x2
Откуда:
z=c22ln1+x2-c1arctgx+c4
Т.е