Найти экстремали функционалов зависящих от нескольких функций

Имеем:
L=y'2+2z2-4y2+z'2
∂L∂y=-8y;∂L∂y'=2y'
∂L∂z=4z;∂L∂z'=2z'
Тогда:
ddx∂L∂y'=2y''
ddx∂L∂z'=2z''
Записываем систему уравнений Эйлера.
∂L∂y-ddx∂L∂y'=0∂L∂z-ddx∂L∂z'=0
Получаем:
-8y-2y''=04z-2z''=0
Или:
y''+4y=0z''-2z=0
Уравнения полученной системы можно решать раздельно:
y''+4y=0
Записываем и решаем соответствующее характеристическое уравнение:
k2+4=0
k=±2i
Т.е . общее решение:
y=c1sin2x+c2cos2x
Используем краевые условия:
y0=0,yπ4=1
0=c21=c1
Т.е.: y=sin2x
Возвращаемся ко второму уравнению системы:
z''-2z=0
Записываем и решаем соответствующее характеристическое уравнение:
k2-2=0
k=±2
Т.е