Найти экстремали функционала Jyx=0π4y2-y'2+6ysin2xdx

Имеем:
Fx,y,y'=y2-y'2+6ysin2x
∂F∂y=2y+6sin2x
∂F∂y'=-2y'
Тогда:
ddx∂F∂y'=-2y''
Записываем уравнение Эйлера:
∂F∂y-ddx∂F∂y'=0
И получаем:
2y+6sin2x+2y''=0
Или:
y''+y=-3sin2x
Решение однородного уравнения:
y''+y=0
Находим по корням характеристического уравнения:
k2+1=0
k1,2=±i
Т.е . общее решение однородного уравнения:
y=c1cosx+c2sinx
Частное решение неоднородного уравнения, поскольку только четные производные, будем искать в виде y=Asin2x