Найти частное решение линейного дифференциального уравнения первого порядка

Преобразуем уравнение:
xy'-4y=x
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка решается заменой y=UV, y'=U'V+UV':
xU'V+UV'-4UV=x
xU'V+xUV'-4UV=x
xU'V+U(xV'-4V)=x
Решим систему уравнений:
xV'-4V=0xU'V=x
Решим первое уравнение . Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
xdVdx=4V
dVV=4dxx
Интегрируем обе части уравнения:
dVV=4dxx
lnV=4lnx
Используем свойство plna=lnap:
lnV=lnx4→V=x4
Подставляем во второе уравнение:
xU'x4=x
dUdx=1x4
dU=x-4dx
Интегрируем:
dU=x-4dx
U=x-3-3+C
U=-13x3+C
Получаем общее решение дифференциального уравнения, возвращаясь к замене:
y=UV=x4-13x3+C
Частное решение найдем, подставив начальные условия:
-1=14-13∙13+C
-1=-13+C→C=-23
Частное решение:
yч=x4-13x3-23=-13x-23x4