Найти частное решение дифференциального уравнения. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Найти частное решение дифференциального уравнения

Найти частное решение дифференциального уравнения .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям. y''-3y'+2y=-sinx-7cosx, y0=2, y'0=7

Нужно полное решение этой работы?

Ответ

y=2e2x+ex+2sinx-cosx.

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Построим общее решение y0 соответствующего однородного уравнения
y''-3y'+2y=0 . Составим для него характеристическое уравнение
k2-3k+2=0 и найдем его корни: k1=2,k2=1.
Поэтому частные решения надо записать в виде
y1=ex, y2=e2x.
Cледовательно, общее решение линейного однородного уравнения имеет вид:y0=y1+y2=C1ex+C2e2x.
Построим частное решение yч.н. данного неоднородного уравнения при помощи метода неопределенных коэффициентов . В заданном уравнении
fx=-sinx-7cosx –частное решение yч.н. будем искать в виде:
yч.н.=Acosx+Bsinx
где А, В – неизвестные постоянные.
Производные равны:
y'ч.н.=-Asinx+Bcosx;
y''ч.н.=-Acosx-Bsinx
Подставим yч.н.,yч.н.',yч.н.'' в данное неоднородное уравнение:
2-31yч.н.=Acosx+Bsinxyч.н.'=-Asinx+Bcosxyч.н.''=-Acosx-Bsinx
------------------------------------------------
-Acosx-Bsinx-3-Asinx+Bcosx+2Acosx+Bsinx=-sinx-7cosx
A-3Bcosx+3A+Bsinx=-sinx-7cosx
Приравняем коэффициенты при cosx и при sinx в левой и правой частях тождества.
A-3B=-73A+B=-1=>A=-1, B=2
Подставив найденные значения А , В в выражение yч.н., получим частное решение неоднородного уравнения:
yч.н.=-cosx+2sinx.
Объединяя результаты 2-х этапов, запишем общее решение данного уравнения.
y=y0+yч.н.=C1ex+C2e2x+2sinx-cosx.
Найдём частное решение при начальных условиях:
y'=C1ex+2C2e2x+2cosx+sinx
Подставим начальные условия: y0=2, y'0=7
2=C1+C2-17=C1+2C2+2=>C1=1, C2=2
Частное решение при y0=2, y'0=7:.
y=ex+2e2x+2sinx-cosx.
Ответ: y=2e2x+ex+2sinx-cosx.

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу