Найти частное решение дифференциального уравнения. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Найти частное решение дифференциального уравнения

Найти частное решение дифференциального уравнения .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти частное решение дифференциального уравнения y''-9∙y'+18∙y=26∙cosx-8∙sinx, y0=0, y'0=2

Нужно полное решение этой работы?

Ответ

y=-3∙e3∙x+2∙e6∙x+cosx-sinx

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Y''-9∙y'+18∙y=26∙cosx-8∙sinx
Для начала решим однородное уравнение
y''-9∙y'+18∙y=0
Ему соответствует характеристическое уравнение
λ2-9∙λ+18=0⟹λ1=3λ2=6
Следовательно, общее решение однородного уравнения будет иметь вид
y0=C1∙e3∙x+C2∙e6∙x
Исходя из правой части уравнения и корней характеристического уравнения ищем частное решение уравнения в виде
y=A∙cosx+B∙sinx
y'=-A∙sinx+B∙cosx, y''=-A∙cosx-B∙sinx
Подставим в исходное уравнение
-A∙cosx-B∙sinx-9∙-A∙sinx+B∙cosx+18∙A∙cosx+B∙sinx=-A∙cosx-B∙sinx+9∙A∙sinx-9∙B∙cosx+18∙A∙cosx+18∙B∙sinx=-A-9∙B+18∙A∙cosx+-B+9∙A+18∙B∙sinx=17∙A-9∙B∙cosx+9∙A+17∙B∙sinx=26∙cosx-8∙sinx
Приравнивая коэффициенты при соответствующих членах получаем систему для нахождения неизвестных A,B
17∙A-9∙B=269∙A+17∙B=-8
Выразим из второго уравнения неизвестную A и подставим её в первое
9∙A+17∙B=-8, 9∙A=-8-17∙B, A=-8-17∙B9
17∙A-9∙B=17∙-8-17∙B9-9∙B=-136-289∙B-81∙B9=-136-370∙B9=26, -136-370∙B=234, -370∙B=370, B=-1
A=-8-17∙B9=-8-17∙-19=-8+179=99=1
Тогда частое решение запишется в виде
yч=1∙cosx+-1∙sinx=cosx-sinx
Получаем общее решение неоднородного уравнения
y=y0+yч=C1∙e3∙x+C2∙e6∙x+cosx-sinx
Найдем неизвестные C1,C2 из краевых условий
y0=C1∙e3∙0+C2∙e6∙0+cos0-sin0=C1∙e0+C2∙e0+1-0=C1∙1+C2∙1+1=C1+C2+1=0, C1+C2=-1
y'=3∙C1∙e3∙x+6∙C2∙e6∙x-sinx-cosx
y'0=3∙C1∙e3∙0+6∙C2∙e6∙0-sin0-cos0=3∙C1∙e0+6∙C2∙e0-0-1=3∙C1∙1+6∙C2∙1-1=3∙C1+6∙C2-1=2, 3∙C1+6∙C2=3
Получаем систему
C1+C2=-13∙C1+6∙C2=3
Выразим из первого уравнения неизвестную C1 и подставим её во второе
C1+C2=-1, C1=-1-C2
3∙-1-C2+6∙C2=-3-3∙C2+6∙C2=-3+3∙C2=3, 3∙C2=6, C2=2⟹C1=-1-2=-3
Тогда
y=-3∙e3∙x+2∙e6∙x+cosx-sinx
Ответ: y=-3∙e3∙x+2∙e6∙x+cosx-sinx

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу