Найти частное решение дифференциального уравнения

Сначала найдём общее решение соответствующего однородного уравнения:
y''+2y'-8y=0
Чтобы найти общее решение данного дифференциального уравнения, составим характеристическое уравнение и найдём его корни:
k2+2k-8=0
D=4-4*1*-8=4+32=36
k1=-2-62=-82=-4
k2=-2+62=42=2
Так как получены различные действительные корни, общее решение однородного уравнения выглядит так:
y=C1e-4x+C2e2x
Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:
y*=Acosx+Bsinx
Найдём первую и вторую производные от данного выражения:
y*'=-Asinx+Bcosx
y*''=-Acosx-Bsinx
Подставляем в исходное уравнение:
-Acosx-Bsinx+2*-Asinx+Bcosx-8*Acosx+Bsinx=3sinx
-Acosx-Bsinx-2Asinx+2Bcosx-8Acosx-8Bsinx=3sinx
Приведём подобные слагаемые в левой части, получим:
-9Acosx-9Bsinx-2Asinx+2Bcosx=3sinx
-9A+2Bcosx+-2A-9Bsinx=3sinx
Сравнивая левую и правую части, получаем систему уравнений:
-9A+2B=0-2A-9B=3
Решив данную систему, получим, что:
A=-685;B=-2785
Тогда частное решение неоднородного уравнения выглядит так:
y*=-685cosx-2785sinx
Тогда общее решение неоднородного уравнения выглядит так:
y=y+y*=C1e-4x+C2e2x-685cosx-2785sinx
Теперь найдём частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, применим первое условие:
y0=C1+C2-685=-1
C1+C2=-1+685=-7985
Найдём первую производную от полученного общего решения и применим второе начальное условие:
y'=-4C1e-4x+2C2e2x+685sinx-2785cosx
y'0=-4C1+2C2-2785=-32
-4C1+2C2=-32+2785=-255170+54170=-201170
Получили систему уравнений:
C1+C2=-7985-4C1+2C2=-201170
Решив данную систему, получим, что:
C1=-23204; C2=-4960
Тогда искомое частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, выглядит так:
y=-23204e-4x-4960e2x-685cosx-2785sinx