Найти центр тяжести однородного тела ограниченного указанными поверхностями

Поскольку тело однородное, то можно положить плотность δx,y,z=1. Тело представляет собой эллиптический параболоид с вершиной в начале координат и ограниченный прямой y=2.
Тело симметрично относительно координатных осей Oxи Oz.Поэтому центр тяжести находится по оси Oyпо формуле:
yc=1mVyδx,y,zdxdydz;
Изобразим проекцию тела на плоскость xOz:
x=22rcosφ, z=2rsinφ, y=y
Тогда J=4r
x2+4z2=4y→8r2cos2φ+4*2r2sin2φ=4y→y=2r2
x2+4z2=8→8r2cos2φ+4*2r2sin2φ=8, r=1
Определим массу тела:
m=Vdxdydz=402πdφ01rdr2r22dy=402πdφ01rdry22r2=
402πdφ01rdr2-2r2=402πdφ012r-2r3dr=402πdφ(r2-r42)10=
202πdφ=2φ2π0=4π
Определяем ординату центра тяжести:
yc=14πVyδx,y,zdxdydz=1π02πdφ01rdr2r22ydy=1π02πdφ01rdry2222r2=
1π02πdφ01rdr2-2r4=1π02πdφ012r-2r5dr=1π02πdφ(r2-2r66)10=
23π02πdφ=23πφ2π0=43
Получили координаты центра тяжести тела:
0;43;0.