Найти базис в котором матрица линейного оператора имеет диагональный вид

Составим ортонормированный базис из собственных векторов матрицы.
Найдем собственные значения матрицы из уравнения:
A-λE=0
-1-λ-2223-λ-222-1-λ=0
(1+λ)23-λ+8+8-43-λ-41+λ-41+λ=0
(1+λ)23-λ-4λ-4=0
(1+λ)23-λ-4(λ+1)=0
λ+1λ+13-λ-4=0
λ+1-λ2+2λ-1=0
-λ+1λ2-2λ+1=0
-λ+1λ-12=0
λ1=-1, λ2,3=1
Найдем собственные векторы матрицы из системы уравнений:
A-λEX=0
λ1=-1
0-2224-2220X=0
Приведем матрицу системы к ступенчатому виду:
0-2224-2220~Разделим все строки на 2Поменяем местами первую и вторую строки
12-10-11110~Умножим первую строку на -1 и сложим с третьей
12-10-110-11~Умножим вторую строку на -1 и сложим с третьей
12-10-11000
Ранг матрицы равен 2, поэтому пространство решений системы состоит из одного вектора . Примем переменные x1,x2 за базисные, а переменную x3 за свободную. Выразим базисные переменные через свободную.
x1+2x2-x3=0-x2+x3=0 x1=-x3x2=x3
Положим x3=C1, получим собственный вектор:
a1=C1-1;1;1
Нормируем вектор:
a10=C1-1;1;1C1(-1)2+12+12=-13;13;13
λ1=1
-2-2222-222-2X=0
Приведем матрицу системы к ступенчатому виду:
-2-2222-222-2~Сложим первую и вторую строкиСложим первую и третью строки
-2-22000000~11-1000000
Ранг матрицы равен 1, поэтому пространство решений системы состоит из одного вектора