Найдите расстояние от точки P(2 4 4) до прямой 2x-y+z-2=0

Составим уравнение прямой, образованной пересечением двух плоскостей:
2x-y+z-2=0,x+y-z-1=0.
Найдем точку M0x0,y0,z0. Пусть z=0. Тогда
2x-y-2=0,x+y-1=0.⟹2x-1-x-2=0y=1-x⟹x=1y=1-1=0⟹M01, 0, 0.
Направляющий вектор прямой l перпендикулярен векторам нормалей плоскостей: N1=2, -1, 1 и N2=1, 1, -1.
l=N1×N2=ijk2-1111-1=i∙-1∙-1-1∙1-j∙2∙-1-1∙1+k∙2∙1-1∙-1=0, 3, 3=(0, 1, 1).
Итак, канонические уравнения прямой:
x-10=y1=z1.
l=(0, 1, 1) – направляющий вектор прямой;
M01, 0, 0 - точка, лежащая на прямой.
Тогда PM0=1-2, 0-4, 0-4=-1, -4, -4.
[PM0×l]=ijk-1-4-4011=i∙-4∙1-1∙(-4)-j∙-1∙1-0∙(-4)+k∙(-1)∙1-0∙-4=0, 1, -1.
Тогда расстояние от P2, 4, 4 до прямой x-10=y1=z1:
d=[PM0×l]l=02+12+(-1)202+12+12=22=1.
Ответ: 1.